Uèi, non charrrarèm dei matematicas actualas, mai anam remontar dins lo temps fins à l’epòca dau famós Pitagòras e à la sieuna escòla que fasié tota una reflexion formala e mistica à l’entorn dei nombres.
Es dich que lo Pitagòras naissèt dins l’isla de Samos, dins la Mar Egea, devèrs 580 av. J.-C., que creèt son escòla à Crotòna (Italia) devèrs 532 av. J.-C., e que moriguèt à Metaponte en 497 av. J.-C.
Son foarça coneguts:
- Sa taula de multiplicacion amé dobla entrada, que permete de vèire la comutativitat d’aquesta operacion.
- Son teorema sus lei triangles rectangles.
- Lei nombres figurats que sota la forma de ponchs represènton de figuras geometricas, triangle, cairat, pentagòne, exagòne, eptagòne, octogòne, nonagòne (ò enneagòne), decagòne, etc.
NOMBRES TRIANGULARIS
D’en promier, lo triangle unitari.
1 ponch, puei un triangle equilaterau de costat 2
Seguit dau triangle de costat 3, etc.
VÈN LA SERIA:
1 – 3 – 6 – 10 – 15, etc.
Basta d’ajustar 2 puei 3 puei 4 puei 5, etc.
NOTARÈM: T (1) = 1 T (2) = 3 T (3) = 6
D’onte lo tableu:
| N | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| T (N) | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | 66 |
(documents © Gérard VUILLEMIN,
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbTrianB.htm)
FORMULA GENERALA
T (N) = N * (N + 1) / 2
Exemple: T (100) = 101 / 2 = 50 * 101 = 5050
QUÀUQUEI CALCULS SUS LEIS INVÈRSES
1 / T (N) = 2 / [N * (N + 1)]
AI CERCAT LA SOMA, PAUC À CHA PAUC
(resultat arredonits à la 4a decimala)
1
1 + 1/3 = 1,3333
1 + 1/3 + 1/6 = 1,5
1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 = 1,6
SOMA (1 à 20) = 40/21 = 1,9047
SOMA (1 à 30) = 60/31 = 1,9355
SOMA (1 à 50) = 100/51 = 1,9607
Adonc avèm: SOMA (1 À N) = 2N / (N + 1)
Quora N tende vèrs l’infinit, N / (N + 1) tende vèrs 1
SOMA (N = 1 juscas l’infinit) 2 / [N * (N + 1] = 2
AI AGUT L’IDÈIA DE FAIRE DE CALCULS PER PAQUETS DE 10
Per aquò faire, ai utilisat “Wolfram Alpha Computational Intelligence”, que me va balhar de resultats sota forma fraccionària simplificada, qu’autrament lei calculs son longàs.
en anglés, nòti:
SUM (N = 10 to 20) 2 / [N * (N + 1)] = 11 / 105
SOMA (N = 10 juscas 20) 1 / T (N) = 11 / 105
SOMA (N = 20 juscas 30) 1 / T (N) = 11 / 310
SOMA (N = 30 juscas 40) 1 / T (N) = 11 / 615
SOMA (N = 40 juscas 50) 1 / T (N) = 11 / 1020
SOMA (N = 50 juscas 60) 1 / T (N) = 11 / 1525
SOMA (N = 60 juscas 70) 1 / T (N) = 11 / 20130
Siéu estat susprés que lo numerador siegue sempre 11, çò qu’es mai que curiós.
Per çò qu’es dei denominadors, se remarca:
- Que trobam en promier
1,3,6,10,15,21
que son T (1) – T (2) – T (3) – T (4) – T(5) – T(6)
- Après, trobam
5,10,15,20,25,30
valent à dire la mitat de la promiera valor de N
N’EN SIÉU ESTAT ENCHALAT,
ENCARA UN CÒUP LA POESIA DEI NOMBRES
Segur qu’à-n-un moment li aurà plus ges de separacion, que lei doás partidas s’ajustaran d’una mena decalada.
Es per exemple çò que se debana per la soma calculada de 1000 juscas 1010.
SOMA (N = 1000 juscas 1010) = 11 / 505500
T (100) = 5050 (vèire avant)
1000 / 2 = 500
Avèm 5050
+ 500
____________
505500
Adonc ai cercat de realisar una formula generala.
M’a faugut quàuquei recèrcas, e vaquí çò qu’ai trobat:
SOMA [N = 10P juscas N = 10 * (P+1)] = 11 / [5P * (10P + 11)]
Vaquí lo calcul per P = 100
SOMA (N=1000 juscas 1010) = 11 / [5 * 100 x (10×100+11)]
5 * 100 * (10 * 100 + 11) = 500 * 1011 = 505500
Un aute per P = 500
SOMA (N=5000 juscas 5010) = 11 / [5 * 500 x (10 x 500+11)]
N = 11
D = 2500 * 5011 = 125275500
Verificacion amé WOLFRAM ALPHA
Ai agut una autra idèia: cercar lei somas dei nombres triangularis coma l’aviéu fach per serias de 10 en 10 amé leis invèrses.
VAQUÍ ÇÒ QU’AI TROBAT:
SOMA (N = 10 juscas 20) N * (N + 1) / 2 = 1375
De 20 juscas 40 10 150
De 40 juscas 60 27 160
Ren de particular.
Ai assatjat de 5 en 5. Pas ren encara
MAI TE VAQUÍ PAS QUE PER ERROR AI TROBAT: 19 luega de 20
SOMA (N = 10 juscas 19) N * (N + 1) / 2 = 1165
Ai mantengut
SOMA (N = 20 juscas 29) N * (N + 1) / 2 = 3165
Aviéu 1 = T(1) 3 = T(2)
e 165 = 11T(5)
ai pensat de trobar après:
30 – 39 6 165
40 – 49 10 165
Èra exacte. Adonc ai escrich una formula generala:
SOMA (N = 10P juscas 10P + 9) N * (N + 1) / 2 = 1000 * T(P) + 11 * T(5)
Amé leis invèrses:
SOMA [N = 10 juscas 10 (P + 1)] 2 / [N * (N + 1)] = [5P * (10P + 11)]
Es çò que sòni la poesia dei nombres.
Curiós coma siéu, ai cercat en ajustant 1
| SOMA (N = 10 juscas 21) N * (N + 1) / 2 = 1 606
SOMA (N = 20 juscas 31) N * (N + 1) / 2 = 41 126 SOMA (N = 30 juscas 41) N * (N + 1) / 2 = 7 846 SOMA (N = 40 juscas 51) N * (N + 1) / 2 = 12 766 |
? |
LO MISTÈRI DE 1 EN MENS ES EXTRAORDINARI
Tot aquò me rapèla lo libre
“LES NOMBRES ET LEURS MYSTÈRES”
d’André WARUSFEL
Éditions du Seuil, Le rayon de la Science
1961
bessai reeditat.
L’ai crompat en 1962 quora èri en classa de Mathelem au Liceu Dumont D’Urville à Tolon
Es çò que m’a aduch à aprefondir mei recèrcas numericas.
ooo
À venir, quàuquei calculs tocant lei nombres triangularis e pentagonaus centrats un pauc mai complicats.
Un article de Joan-Glaudi Babois *
*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.
(messa en paginas: Reinat TOSCANO)
