Amé un biais de faire inspirat de Srinivasa Ramanujan.
RAÍÇ CUBICAS
∛(a+a^∛(a+a^∛(a+a∛(a+a∛(…)) ) ) )
Vaquí lei calculs amé quàuquei nombres.
- a=8
Per trobar lo resultat, fau resòlver l’eqüacion:
x3-8x-8=0
ò ben cercar la solucion dau programa de resolucion de:
R = (8x(1+R)^(1/3)
La solucion es 3,236067977
Es à dire , onte es lo nombre d’aur.
∛(8+8^∛(8+8^∛(8+8∛(8+8∛(…)) ) ) ) =2φ
Remarca:
Formula que pòu èstre aprochada d’aquesta formula amé de raíç cairadas:
∛(1+1^∛(1+1^∛(1+1∛(1+1∛(…)) ) ) )=φ
Remarca:
Avèm un passatge de 8 à 1 e de la raíç cubica à la raíç cairada. Es la beutat de la teoria dei nombres.
Vaquí amé lei raíç cairadas una autra formula onte i a lo nombre d’aur:
√(2&5√(2&5√(2&5√(2&…)))) = + 3 = +^3
Valor: 5,854101965 (verificat amé Wolfram Alpha)
- Un cas interessant amé a = 3
La resolucion de l’eqüacion:
x3 – 3x – 3 = 0
dona:
x=(∛(3-√(2&5)) +∛(3+√(2&5)) )/∛2=2,103803403
Estent que trobam , es possible de realisar un resultat qu’es foncion de j =
Vèn
=322+32×232
que se pòu donar sota una forma mai estetica:
x=(∛(3-√(2&5)) +∛(3+√(2&5)) )/∛2=2,103803403
Una bèla simetria amé doás partidas, una amé la division de 1 per j2, l’autra amé la multiplicacion de 1 per j2
- Calcul amé a = 1
- ∛(1+1∛(1+1∛(⋯)) ) = 1,324717957
La solucion es lo nombre qu’es sonat
PLASTIC CONSTANT (P.C.)
Aquesta constanta de la teoria dei nombres es estada trobada per un engenhaire francés, Gérard Cordonnier, que l’avié sonada “nombre radical” en 1924, es Don Hans Van Der Laan que quatre ans mai tard la sonèt “Plastic constant”.
Lo passatge de la raíç cairada à la raíç cubica fa passar dau nombre d’aur à la constanta plastica.
La constanta plastica es legada à la seguida de Padovan coma lo nombre d’aur es legat à la seguida de Fibonacci.
Seguida de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …
f(n+1) = f(n) + f(n-1) amé f(0) = f(1) = 1
Seguida de Padovan: 1, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, … 1081, 1432, 41824, 55405, …
amé p(0) = 1 e p(1) = 0
Constanta plastica P.C.
Exemples:
16/12=1,333…
21/16=1,3125…
1432/1081=1,32469…
55405/41824=1,32471865…
(pròche de 1,32471…)
- Calcul amé a = 6
Solucion estranha!
=∛(6+6∛(6+6∛(6+6∛(…)) ) ) = ∛2+∛4
(e sabèm que 6 = 2 + 4)
Verificacion:
= 2,847322102
x3 = 23,08393261
x3/6 = 3,847322102 = x + 1
- a = 27/4
Sensa entrar dins lei detalhs dei calculs, ai trobat una valor entiera: 3.
Verificacion:
x=∛2+∛4 = 2,847322102
x3 = 23,08393261
x3/6 = 3,847322102 = x + 1
5) a = 27/4
Sensa entrar dins lei detalhs dei calculs, ai trobat una valor entiera: 3.
∛(27/4+27/4 ∛(27/4+27/4 ∛(27/4+27/4 ∛(…)) ) ) =3
Verificacion:
x = 3
x3 = 27
e avèm ben:
x^3=27/4 (1+3)=27/4×4=27
- Vist que 27 es lo cube de 3, ai fach una recèrca amé 27. Ai realisat una resolucion dins l’ensemble dei nombres complèxes monte i2 = -1
La solucion es:
∛(1+1∛(1+1∛(⋯)) ) = 1,324717957
Sota lei radicaus trobam:
1/2 (1+ⅈ√(2&3))=cos〖(π/3)+i sin(π/3) 〗
121+ⅈ23=cos3−sin3
Lo calcul dei raíç cubicas dona:
x=3[2 cos(π/9) ]=6 cos(π/9)
327+27327+273…=69
=69=5,638153725
x^3=2+6 〖cos〗^3(π/9)=179,2302046=27[1+6 cos(π/9) ]
Au passatge, trobam una formula que religa
cos〗^3(π/9) e cos(π/9):
cos〗^3(π/9)=[1+6 cos(π/9) ]/8
ES LA POESIA DEI MATEMATICAS!
Amé d’autres nombres…
Vaquí l’exemple per 5 (coma per li raíç cairadas):
∛(5+5∛(5+5∛(…)) ) =∛(5/2-5/18 √(2&21)) +∛(5/2+5/18 √(2&21))
…
NOTA BENE
Vaquí una formula deguda à Ramanujan sus de raíç cubicas, que son calcul es fòrça complèxe:
∛(∛2-1)=(∛1-∛2+∛4)/∛9
Valor: 0,638185…
Ramanujan jonglava amé lei nombres. A botat de molons de formulas extraordinàrias qu’extraordinàrias, sovèntei fes sensa minga demostracion.
- 29 de janvier de 2023
Per çò qu’es de la lenga d’òc, e mai dau provençau, aièr dins mon vilatge natau de Carnolas s’es debanada la dictada en provençau, qu’es lo Reinat que mete en paginas mei cronicas que l’organisa amé ieu per l’Institut d’Estudis Occitans. M’a balhat lei promièrei paginas picadas per vèire se i avié d’errors, e ai decidit d’ajustar una autra formula qu’ai establit i a pas gaire de temps. Ai escrich “establida” perqué ai utilisat una formula coneissuda qu’ai transformat en n’en utilisant d’àutrei proprietats de la teoria dei nombres.
La vaquí sensa minga demostracion. Es fòrça estranha, de raíç cairadas emboitadas, amé de produchs d’aquesta mena:
ò 1 – 1/(2n+1)^2
monte i a ren que de nombres impars, exceptat per n = 0, que e que lo produch sarié nul.
Lo resultat es susprenent, que trobam l’exponenciala e = 2,718281828 au cairat.
NB: fau pas crèire que i ague una repeticion de 1828, li a pas ges de periodicitat.
E mai trobam un 8 coma partidor (2,718281828/8 = 0,3397852285).
√(2&(1-1/3^2 ) √(2&(1-1/3^2 )(1-1/3^2 ) √(2&(1-1/3^2 )(1-1/5^2 )(1-1/7^2 ) √(2&…))))
ò (e^2)/8 = 0,923620124
Ai verificat aquest resultat, en n’en fasent un programa sus mon computador de pòcha CASIO PB 700.
Espèri que coma ieu sarètz esmeravilhats per aquéstei formulas basadas sus de raíç cairadas ò cubicas.
Per ieu, es parierament la magia e la poesia de l’univèrs matematic.
E un còup de mai, un gramací gigant à l’amic Reinat per son trabalh de presentacion que non es totjorn aisat dau ponch de vista dei notacions matematicas.
Un article de Joan-Glaudi Babois *
Messa en forma: Reinat Toscano.
*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.
