Avètz sachut qu’aquesta soma es ara repertoriada dins lo site Wolfram Mathworld dintre Prime Sums (Somas de Nombres Promiers) dins la categorias dei somas curiosas (Ref. N° 38).
Formula que dona la sequença: 0, 1, 12, 45, 225, 396, 960, 1377, …
(OEIS A331764; JC Babois, comm. Pers. 31 janvier 2021)
D’amics interessats per lei matematicas m’an demandat d’explicas. Adonc, per una compreneson pas tròup complicada ai causit de prene lo nombre P = 7 coma exemple.
| Taula de Pitagòras | Taula dei quocients entiers | ||||||||||||||
| p = 7 | |||||||||||||||
| p – 1 = 6 | |||||||||||||||
| i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | i j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1+1+1 = 3 | |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 3 | 0 | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 1+1+2+2 = 6 | |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 4 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 1+1+2+2+3 = 9 | |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 5 | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 1+2+2+3+4 = 12 | |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 6 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1+2+3+4+5 = 15 | |
| i x j | i x j / 7 | ||||||||||||||
| Es la taula de multiplicacion de 1 5 6 (7 – 1) |
Es lo quocient entier quora se partisse lo produch per lo nombre promier 7 |
||||||||||||||
De notar:
3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45
[(p-1)3 – (p-1)2] / 4 = (63 -62) / 4 = (216 – 36) / 4 = 180 / 4 = 45
À la començança de la prima, estent qu’èri en cò de ma filha Chrysalide, qu’aviéu quàuquei problemas de brandament e seguida d’un poderós falorditge, me siéu pensat qu’èra possible d’elaborar aquesta formula sensa passar per la formula PGCD (en occitan MGCD: mai grand comun divisor) de dos nombres M e N de Marcelo Polezzi (trobada en 1997):
PGCD (M, N) = M + N – MN + 2 SOMA (I = 1 JUSCA M – 1) [INT (IN/M]
onte INT designa la partida entiera
Vaquí çò qu’ai fach:
NOTACIONS: S = SOMA (i,j = 1 JUSCA p-1) [ij]
Q = SOMA (i,j = 1 JUSCA p-1) [int (ij/p)]
R = SOMA (i,j = 1 JUSCA p-1) [rij]
ij @ rij (mod p)
p estent un nombre promier
Podèm escriure S = p Q + R siegue Q = (S-R)/p
- Calcul de S
Se fasèm la soma per linha, avèm:
1 + 2 + 3 + … + p-1
2(1 + 2 + 3 + … + p-1)
3(1 + 2 + 3 + … + p-1)
…
(p-1) (1 + 2 + 3 + … + p-1)
Valent à dire S = SOMA (i=1 JUSCA p-1)[i] x SOMA (j-1 JUSCA p-1) [j]
S = [p(p-1/2]2
S = p2(p-1)2/4
- Calcul de R
Per çò qu’es dei rèstas à cada linha, trobam lei rèstas:
1 – 2 – 3 … p-1
dins d’òrdres diferents
Adoncas:
R = (p-1) x SOMA (i=1 JUSCA P-1) [i]
R = (p-1) x (p-1)p/2
R = p(p-1)2/2
- Calcul de Q
Avèm vist que Q = (S-R)/p
S-R = p2(p-1)2/4 – p(p-1)2/2 = [p2(p-1)2 – 2p(p-1)2]/4
Q = (S-R)/p = [p(p-1)2 – 2 (p-1)2]/4
Q = (p-1)2 (p-2)/4 = [(p-1)3 – p-1)2]/4
Q = [(p-1)3 – p-1)2]/4
C.Q.F.D., es ben la formula originala!
- PGCD de dos nombres m e n
M’es venguda l’idèia d’establir una formula per lo P.G.C.D. de dos nombres m e n basada sobre lei rèstas en emplegant la formula de Marcelo Polezzi.
NOTACIONS: A = SOMA (i=1 JUSCA m-1) [in]
B = SOMA (i=1 JUSCA m-1) [int(in)/m]
C = SOMA (i=1 JUSCA m-1) [ri]
in @ ri(mod m)
A = Bm + C ò B = (A-C)/m
Calcul de A
A = n x SOMA (i=1 JUSCA m-1) [i]
A = n(m-1)m/2
A = nm(m-1)/2
Adonc
B = [nm(m-1)/2 – C]/m
Formula de Polezzi:
pgcd (m,n) = (m + n – mn + 2 SOMA (i=1 JUSCA m-1) [int(in)/m]
D’onte vèn:
| pgcd (m,n) = m – 2/m
amé in @ ri [mod m] |
||
| Çò que pòu èstre inversat: | pgcd (m,n) = n – 2/n
amé im @ ri [mod n] |
ↂ
Vaquí un exemple amé n = 9 m = 6
j
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| 9i | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | |
| r mod 6 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | Rèstas periodics 3 0 |
pgcd (9,6) = 6 – 2x(3+0+3+0+3)/6 = 6 – 18/6
pgcd (9,6) = 3
k
| i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
| 6i | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | |
| r mod 9 | 6 | 3 | 0 | 6 | 3 | 0 | 6 | 3 | Rèstas periodics 6 3 0 |
pgcd (9,6) = 9 – 2(6+3+6+3+6+3)/9= 9 – 2(27/9) = 9 – 2 x 3
pgcd (9,6) = 3
Vesèm qu’aquest metòde de calcul de PGCD (MGCD) es original mai qu’es mai que mai lòng.
Aviéu soncament per tòca de mostrar un autre biais de calcular lo PGCD de dos nombres.
Es tota la sapiéncia dei Matematicas.
Un article de Joan-Glaudi Babois *
Messa en forma: Reinat Toscano
*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.
