Dins lo site american de l’O.E.I.S qu’es una enciclopedia numerica sus lei nombres entiers ai una contribucion repertoriada A174549 que pertòca la seguida :
1-3-30-840-45360 …
Questa seguida es definida per la formula de recurréncia :
a(n) = ( 2n+1 ) * ( 2n – 1 ) !
2n+1 designa un nombre impar
(2n-1) ! Es una factoriala valent à dire :
(2n-1) ! = 1*2*3*4* ….. ( 2n-1 )
Aquí a (o) = 1
Calcul de a(1), a(2), a(3) :
a(1) = (2*1+1) * (2*1-1) ! = 3*1 ! = 3*1 = 3
a(2) = (2*2+1) * (2*2-1) ! = 5*3 ! = 5*(1*2*3) = 5*6 = 30
a(3) = (2*3+1) * (2*3-1) ! = 7*5 ! = 7*(1*2*3*4*5) = 7*120 = 840
- FORMULA 1 –
Soma ( despuei n=1 fins l’infinit ) 1/a(n) = cos h (1) – sin h (1)
Cos h(1) es lo cosinus iperbolic dau nombre 1
Sin h(1) es lo sinus iperbolic dau nombre 1
Cos h(1) = (e+1/e) /2 Sin h (1) = (e-1/e) /2
e es l’exponenciala e = 2,718281828…
Un nombre que trobam soventi-fes dins l’analisi coma lo nombre ∏ = 3,141592654…
Cos h(1) – Sin h(1) = 1/e
Soma ( despuei n=1 fins l’infinit ) 1/a(n) = 1/e
1/e = 0,3678794411
Siegue una precision d’un dètz-miliarden per defaut
- FORMULA 2 –
Soma (despuei n=1 fins l’infinit ) (-1) ^ n / a(n) = Cos(1) – Sin(1)
Es una soma alternada, valent à dire amé cambiament de signe
-1/3 + 1/30 – 1/840 + 1/45360 + … = Cos(1) – Sin(1)
L’angle 1 es exprimit en radiants e trobam lo cosinus e lo sinus circularis
Cos(1) – Sin(1) = – 0,3011686789
- FORMULA 3 –
Lim ( n → ∞) [ COS (n) – Sin (n) ] ^ (1/n)
Valent à dire lo limit quora n tende devèrs l’infinit de la racina na de Cos(n) – Sin(n)
Calculs :
Per n egau à dètz-milions n=10 000 000 = 10^7
S = 0,3678794393
Per n egau a cent-milions n=10^8=100 000 000
S = 0,3678794412
Adonc S=1/e
Siegue :
Lim (n → ∞ ) [ COS (n) – Sin (n) ] ^ (1/n) = 1/e
e 1/e = cos h(1)-sin h(1)
Adonc
Lim (n → ∞ ) [ Cos(n) – Sin(n) ] ^ (1/n) = Cos h(1) – Sin h(1)
Lo passatge au limit transforma lo cosinus e lo sinus circularis en cosinus e sinus iperbolics.
Ai cercat perqué, d’en promier ai ren trobat, puei un pauc mai tard me siéu sovengut de questa formula:
Lim ( n → O ) [ Cos (a+1/n) / Cos (a) ] ^ n = 1/ ( e ^ tan(a) )
quora n tende devèrs zèro :
Tan (a) = Sin (a) / Cos (a)
Tan (a) es la tangenta de l’angle a.
Aquí a es en radiants
Ai pensat d’utilisar la formula de trigonometria :
Cos (x+y) = cos (x) cos (y) – Sin (x) Sin (y)
çò que dona :
Cos (a+1/n) = cos (a) cos (1/n) – Sin (a) sin (1/n)
Se a = ∏/4 Cos ( ∏/4 ) = Sin ( ∏/4 ) = SQR (2) /2
La racina carrada de 2 partida per 2
En partissent per Cos ( ∏/4 ) = SQR (2) /2 vèn
Cos ( ∏/4 ) + 1/n ) / cos ( ∏/4 ) = Cos (1/n) – Sin (1/n)
De mai tan ( ∏/4 ) la tangenta de l’angle ∏/4 = 45°
Es egala à 1, adonc 1/e ^ tan ( ∏/4 ) = 1/e
ço qu’entraïna :
Lim (n→o) [Cos(1/n) – Sin (1/n) ] ^ n = 1/e
Basta de cambiar n en 1/n e avèm :
Lim ( n → ∞ ) [Cos(n) – Sin (n) ] ^ (1/n) = 1/e
Vaquí l’explicacion.
Ai fach faire una verification de tot aquò per Michel MARCUS, un matematician francés qu’intervèn dins lo site de l’O.E.I.S.
Cronica matematica de Joan-Glaudi Babois *
*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.
