Taula – Sapiéncia.eu

UNA DEMOSTRACION ELEMENTÀRIA DE LA MIEUNA SOMA DE NOMBRES PROMIERS

Christian Andreu — Wed, 11 May 2022 17:45:53 +0000

Avètz sachut qu’aquesta soma es ara repertoriada dins lo site Wolfram Mathworld dintre Prime Sums (Somas de Nombres Promiers) dins la categorias dei somas curiosas (Ref. N° 38).

Formula que dona la sequença: 0, 1, 12, 45, 225, 396, 960, 1377, …

(OEIS A331764; JC Babois, comm. Pers. 31 janvier 2021)

D’amics interessats per lei matematicas m’an demandat d’explicas. Adonc, per una compreneson pas tròup complicada ai causit de prene lo nombre P = 7 coma exemple.

Taula de Pitagòras							Taula dei quocients entiers
p = 7
p – 1 = 6
_i^j	1	2	3	4	5	6	_i ^j	1	2	3	4	5	6
1	1	2	3	4	5	6	1	0	0	0	0	0	0
2	2	4	6	8	10	12	2	0	0	0	1	1	1	1+1+1 = 3
3	3	6	9	12	15	18	3	0	0	1	2	2	2	1+1+2+2 = 6
4	4	8	12	16	20	24	4	0	1	1	2	2	3	1+1+2+2+3 = 9
5	5	10	15	20	25	30	5	0	1	2	2	3	4	1+2+2+3+4 = 12
6	6	12	18	24	30	36	6	0	1	2	3	4	5	1+2+3+4+5 = 15

		i x j							i x j / 7
Es la taula de multiplicacion de 1 5 6 (7 – 1)							Es lo quocient entier quora se partisse lo produch per lo nombre promier 7

De notar:

3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45

[(p-1)³ – (p-1)²] / 4 = (6³ -6²) / 4 = (216 – 36) / 4 = 180 / 4 = 45

À la començança de la prima, estent qu’èri en cò de ma filha Chrysalide, qu’aviéu quàuquei problemas de brandament e seguida d’un poderós falorditge, me siéu pensat qu’èra possible d’elaborar aquesta formula sensa passar per la formula PGCD (en occitan MGCD: mai grand comun divisor) de dos nombres M e N de Marcelo Polezzi (trobada en 1997):

PGCD (M, N) = M + N – MN + 2 SOMA (I = 1 JUSCA M – 1) [INT (IN/M]

onte INT designa la partida entiera

Vaquí çò qu’ai fach:

NOTACIONS: S = SOMA (i,j = 1 JUSCA p-1) [ij]

Q = SOMA (i,j = 1 JUSCA p-1) [int (ij/p)]

R = SOMA (i,j = 1 JUSCA p-1) [rij]

ij @ rij (mod p)

p estent un nombre promier

Podèm escriure S = p Q + R siegue Q = (S-R)/p

Calcul de S

Se fasèm la soma per linha, avèm:

1 + 2 + 3 + … + p-1

2(1 + 2 + 3 + … + p-1)

3(1 + 2 + 3 + … + p-1)

…

(p-1) (1 + 2 + 3 + … + p-1)

Valent à dire S = SOMA (i=1 JUSCA p-1)[i] x SOMA (j-1 JUSCA p-1) [j]

S = [p(p-1/2]²

S = p²(p-1)²/4

Calcul de R

Per çò qu’es dei rèstas à cada linha, trobam lei rèstas:

1 – 2 – 3 … p-1

dins d’òrdres diferents

Adoncas:

R = (p-1) x SOMA (i=1 JUSCA P-1) [i]

R = (p-1) x (p-1)p/2

R = p(p-1)²/2

Calcul de Q

Avèm vist que Q = (S-R)/p

S-R = p²(p-1)²/4 – p(p-1)²/2 = [p²(p-1)²– 2p(p-1)²]/4

Q = (S-R)/p = [p(p-1)²– 2 (p-1)²]/4

Q = (p-1)² (p-2)/4 = [(p-1)³ – p-1)²]/4

Q = [(p-1)³ – p-1)²]/4

C.Q.F.D., es ben la formula originala!

PGCD de dos nombres m e n

M’es venguda l’idèia d’establir una formula per lo P.G.C.D. de dos nombres m e n basada sobre lei rèstas en emplegant la formula de Marcelo Polezzi.

NOTACIONS: A = SOMA (i=1 JUSCA m-1) [in]

B = SOMA (i=1 JUSCA m-1) [int(in)/m]

C = SOMA (i=1 JUSCA m-1) [ri]

in @ ri(mod m)

A = Bm + C ò B = (A-C)/m

Calcul de A

A = n x SOMA (i=1 JUSCA m-1) [i]

A = n(m-1)m/2

A = nm(m-1)/2

Adonc

B = [nm(m-1)/2 – C]/m

Formula de Polezzi:

pgcd (m,n) = (m + n – mn + 2 SOMA (i=1 JUSCA m-1) [int(in)/m]

D’onte vèn:

pgcd (m,n) = m – 2/m

amé in @ ri [mod m]

Çò que pòu èstre inversat:

pgcd (m,n) = n – 2/n

amé im @ ri [mod n]

ↂ

Vaquí un exemple amé n = 9 m = 6

i	1	2	3	4	5
9i	9	18	27	36	45
r mod 6	3	0	3	0	3	Rèstas periodics 3 0

pgcd (9,6) = 6 – 2x(3+0+3+0+3)/6 = 6 – 18/6

pgcd (9,6) = 3

i	1	2	3	4	5	6	7	8
6i	6	12	18	24	30	36	42	48
r mod 9	6	3	0	6	3	0	6	3	Rèstas periodics 6 3 0

pgcd (9,6) = 9 – 2(6+3+6+3+6+3)/9= 9 – 2(27/9) = 9 – 2 x 3

pgcd (9,6) = 3

Vesèm qu’aquest metòde de calcul de PGCD (MGCD) es original mai qu’es mai que mai lòng.

Aviéu soncament per tòca de mostrar un autre biais de calcular lo PGCD de dos nombres.

Es tota la sapiéncia dei Matematicas.

Un article de Joan-Glaudi Babois *

Messa en forma: Reinat Toscano

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

LA TAULA PATRICIANA ROMANA

Christian Andreu — Tue, 05 May 2020 06:59:30 +0000

Per las familhas patricianas romanas, l’acte de manjar veniá un acte social de granda importància, ont totes los detalhs èran fòrça plan preparats, pr’amor qu’èra una bona escasença per presumir de la siá situacion economica e sociala. Mas per totes los assistents, una taulejada èra una manièra de gaudir d’un dels plasers de la vida: lo manjar, d’una manièra totalament edonista. Mas coma èra una taulejada en una rica familha patriciana romana?

Las nòrmas demandavan que l’òste e los convidats arribèsson a la taulejada après recebre un banh dins lor sieu ostal o als banhs publics. Quand arribava a l’ostal ont se celebrava la taulejada, lo convidat èra recebut per un esclau, que substituissiá la siá tòga per un autre vestit fòrça mai comòde e leugièr, nomenat lo “vestis cenatoria” o “synthesis”. Tanben los convidats daissavan las siás sabatas a l’intrada de l’ostal e los esclaus ruscavan las mans e los pès coma simbòl de benvenguda.

Totes los comensals manjavan reclinats sul lièch, dins la sala nomenada “triclinium”. Per nosautres pòt èsser estranh perque manjam abitualament seguts. Cada lièch possedissiá ricas e artisticas telas sus los sieus matalasses.

La collocacion dels convidats èra pas aleatòria. Logicament l’òste, lo propietari de l’ostal, ocupava lo sèti principal, en presidint la taulejada. Èra lo “summus in imo”. Al sieu costat esquèrre, s’assetava lo convidat principal (qualques taulejadas èran per far un aumenatge a qualque personalitat), nomenat lo “locus consularis”. Los autres convidats s’assetavan segon lor estatus als autres luòcs en formant una sòrta de cercle dins la sala.

En una taulejada patriciana se podián servir abitualament entre tres e sèt plats desparièrs, e en fòrça escasenças de produches exotics. Lo nòu plat que dintrava èra servit per divèrses esclaus, qu’èran dirigits per un mèstre de ceremònias, que recebiá lo nom de “tricliniarcha”.

Los dessèrts formavan la darrièra estapa de la taulejada, e èran acompanhats per grandas dòsis de bevendas e qualqu’unas atraccions per esvagar los assistents coma musica, espectacles de dança e mimica, e en las familhas mai ricas, de luchas de gladiadors.

L’enòrma quantitat de manjar e de bevenda pendent la taulejada provocava que fòrça sovent, los comensals vomitèsson, mas èra pas considerat coma un gèst de marrida educacion. Los comensals recebián desparièras mòstras de perfum per evitar las odors corporalas. Desbrembam pas que qualqu’unas taulejadas podián durar fòrça oras.

Los servents de la taulejada èran catalogats en tres categorias, segon las siás foncions. Los “ministratores” servissián los plats (totjorn d’una rica e decorativa vaissèla), los “copaires” aufrissián de bevendas, e los “analectas” retiravan los plats bruts e las dèishas de neurituds.

Acabada la taulejada, los comensals partissián a lors ostals, amb lors pròpris vestits e acompanhats de lors esclaus. Pensam qu’una de las principalas tòcas d’aquelas taulejadas èra aténher d’enfortir las relacions socialas, e pels comensals que trabalhavan coma comerçants, aténher de nòvas relacions comercialas.

Diferentas costumas socialas

Taulejadas especialas èran las dels “libertus” rics. Èran d’ancians esclaus qu’avián atengut la libertat e avián prosperat dins lo mond dels negòcis, e volián demostrar a tota la vila cossí avián progressat economicament. En aquel cas, los “libertus” ofrissián las taulejadas mai espectacularas, coma simbòl de son nòu estatus e per intensificar las relacions socialas e economicas.

Fòrça de las informacions que possedissèm sus las taulejadas romanas dels ostals patricians foguèron sorgidas de las cronicas conservadas, mas tanben de las trobalhas arqueologicas de Pompei e Herculanum, al sud de la Peninsula Italiana, ont foguèron desenterrats tricliniums entièrs e mosaïcs que mòstran de taulejadas de l’epòca romana.

Un article de Francesc Sangar*

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.