Èra indicat qu’èra estada trobada per un fisician e una fisiciana d’Índia alora qu’èron à faire de recèrcas dins lo domèni de la teoria dei còrdas, en anglés «the string theory».

Mèfi ai personas mau intencionadas! Fau pas mesclar questa teoria amé «string», que designa una soarta de bralhetas (sovent per li fremas, mai pas solament…)!

LA TEORIA DEI CÒRDAS

La fisica d’ara es partida entre doás teorias: la relativitat generala e la mecanica quantica, que demòron per lo moment mai que mai desseparadas.

La teoria dei còrdas a per tòca d’unificar aquélei teorias tras una gravitacion quantica e l’unificacion dei quatre foarças interactivas identificadas. Es question de «la teoria dau tot».

Dins la teoria dei còrdas, l’Univèrs non es constituit de particulas elementàrias mai de còrdas vibrantas aguent una mena de tendeson pariera à-n-un còrs elastic.

De mai, dins aquesta teoria, l’Univèrs a de dimensions mai grandas que lei tres qu’i siam acostumats de percebre (bessai dètz dimensions?).

NB : per n’en saber de mai, contactar lei fisicians de Sapiéncia.

Lei quatre foarças interactivas, dins l’òrdre de poder

• L’interaccion foarta

Qu’intervèn au coar deis atòmes per mantenir lei quarcs ensèms dins lei protons e neutrons. A una granda intensitat.

• L’interaccion febla

Qu’intervèn dins leis electrons, lei bosons. Es d’ela que provèn la radioactivitat quora i a de desintegracions.

• L’electromagnetisme

Que pertòca leis ondas electromagneticas despuei la lutz fins leis ondas ràdio e autras.

• La gravitacion

Es febla que febla mai a una foarça granda portada. Es explicada dins la teoria de la relativitat per una arcadura de l’espaci-temps. Li a pas gaire de temps, son estadas messas en evidéncia d’úneis ondas gravitacionalas que provòcon de vibracions de l’espaci-temps. Son estadas produchas per un tustadís de traucs negres poderós.

LA FORMULA

amé (a)_n = a(a+1) … (a+n-1)

Remarca : se a = 1

(1)_n = 1x2x3x … (1+n-1)

= 1x2x3x … n = n!

La notacion  (a)n es dicha simbòle de Leo Pochhammer, matematician prussian (1841-1920). Es una extension dei factorialas de fact  se a=1. (1)n=n!  la factoriala de n.

Aquesta formula convergisse leu leu devèrs la valor de p, sensa que fague mestier notar de molonadas de chifras amé una precision granda que granda. Au mes d’abriu de 2025, pi  èra coneissut amé 300 000 miliards de decimalas.

LEI CERCAIRES

Aninda Sinha, professora de fisica

Arnab Priya Saha, assistent professor

(tótei dos indians)

La descobèrta es estada facha à l’Indian Institute Of Science e declarada au mes de janvier de 2024 amé soncament quatre tèrmes p es presentat amé una precision de D = 0,0007763.

LO DOMÈNI DE RECERCAS

Dins la fisica quantica, la teoria dei còrdas e l’estudi d’interaccions representadas amé la foncion beta d’Euler e lei diagramas de Feynman. Es dins aqueu mitan qu’an trobat una formula inedicha per calcular pi.

Fau dire que lo nombre p es present dintre la mecanica quantica amé la constanta de Planck reducha :

h = 6,626 070 15 × 10⁻³⁴ J.s

(J = Joule, s = segonda)

À l’ora d’ara, lo quilograma es definit despuei lo Joule.

NB : À despart de la gravitacion quantica, amé lei còrdas li a una autra teoria sonada «gravitacion quantica à boclas», monte l’espaci-temps es quantificat.

Joan-Glaudi BABOIS

Sempre ajudat per l’amic Reinat TOSCANO per la paginacion ; fa ofici de secretari. Un chanut gramací.

Vaquí l’istòria d’un recrutament per la valorosa Armada Papaflarniana. D’en primier me devi de vos precisar que lo capolissime Capolier que govèrna lo País de Papaflarnia èra de longa en garrolha amé sei vesins e que venié de declarar la guèrra à la Republica Ongobondenciana e qu’adonc avié de besonh de carn-de-canon.

Lo 15,2 de Marsobre de 2002 (avans Aglamohé) un aficha èra estada placardada dins tot lo país.

Tzim el capokin tructel 15,01

16,3 Marsobre 2002 (a. A.)

Kha Zern Zen-Traal Tralalet Zag-Zug! Kapi-Kapo!

Per la lindetat de mon prepaus fau que vos digui que despuei son rescòntre dan cinquen tipe amé leis umans, lei papaflarnians an adoptat nòstre alfabet latin e nòstre sistema de numeracion decimau.

Questa afìcha pòu a pauc-près estre revirada ansin:

Toei lei mascles d’au mens 15,01 ans

se dévon presentar lo

16,5 Marsobre 2002 (a.A.)

à la casèrna centrala de Tralalet

viva lo capolissime Capolier

Adonc lo 16,3 de Marsobre de 2002 (a.A.) davans la casèrna centrala de Tralalet, la capítala dau País de Papaflamia èron amolonats lel 1731 pentilhards de joines papaflarnians d’au mens 15,01 annadas papaflarnianas.[1]

À 32 oras petantas lei Pòrtas de la casèrna Eugueron dubèrtas e lei J.P.[2] s’esquichèron dins la cort de la casèrna, après aguer tirat una boleta dins un saquet gigant, presentat per lo camarlenc dan capolissrme Capolier. Lei boletas èron estampadas d’un nombre despuei 1 fins 1731 pentilhards: foarça boletas portàvon lo meme nombre.

Davans lo bastiment de la casèrna darrier un bureu èra assetat lo sergent-recrutor, à la drecha dau bureu un tableu negre, à senèstra una pancarta quarquica.

Au momenton que Zi-han es arribat, un J.P. venié d’apielar sus una tòca e lo 3 qu’èra afichat à la pancarta quarquíca fuguèt remplaçat per lo 4.

Davans lo bureu dau costat de la pancarta, i avié 3 J.P. au garda-à-vos que portàvon lei boletas 1, 2, 3.

Lo J.P. N = 2 davans lo J.P. N = 3,lo J.P. N = 3 davans lo J.P. N = 1.

D’una voatz de Stentòr lo sergent-recrutor sonèt lo J.P. N = 2 e li diguèt d’inscriure à la greda blanca la chífra 1 sus lo tableu negre. ‘Quò fach lo faguèt tornar à sa plaça puei lo preguèt de se desencalar de 2 pas devèrs lo tableu negre. Lo J.P. N = 2 èra ansin devengut lo sordat de matricule 2, lo S. 2.

Après fuguèt lo torn dau J.P. N = 3 d’escafar lo 1 dau tableu e d’i notar la chifra 2, puei de se plaçar darrier lo S. 2, èra recrutat lo S. 3.

D’aqueu temps lo sergent-recrutor èra à faire de calculs sus la lausa puei à notar quauqua ren sus un quasernet pausat sus lo bureu.

Alora sonèt demièg lo fum de Joines Papaflarnians un J.P. amé una boleta 4. Quora arribèt lo sergent-recrutor lo faguèt alinhar au garda-à-vos darrier lo S. 3, lo J.P. N = 4 èra ara devengut S. 4.

Sus la fila de senèstra restava soncament lo J.P N = 1 que fuguèt à la lèsta sonar per lo sargent-recrutor que lo faguèt apìejar sus la tòca de la pancarta quarquica per tocar lo 5 en plaça dau 4, puei li ordonèt de se plaçar darrier lo S. 4 per èstre un S. 1.

Espèri qu`avètz tot ben seguit, qu’es important per comprene lo mòde de recrutament qu’avié engenhat lo capolissime Capolìer dau País de Papaflarnia.

Mon amic lo C.O.P.P. qu’èra demorat à la casèrna fins lo recrutament dau 1731 pentilharden sordat, un pauc alassat t’avié pas comprés grand causa bòrd que d’únei sordats èron nomats Promiera classa alora que d’autres tornàvon ofìciers, après lei calculs dau sergent-recrutor e çò d’una mena que semblava deguda a l’azard.

Coma mon amic Zi-han cresié pas à un còup d’astre, demandèt au sergent-recrutor de veire son quasernet. Vaquí la revirada dins la lenga noastra de çò qu’a relevat Zi-han GHOL-AL.

Coma lo C.O.P.P. m’avié dich que lei S. 3, S. 5, S. 7 èron escats nomenats oficiers :

lo S. 3 oficier de boca

lo 5.5 oficier de lièch

lo S.7 oficier de banh

ai arremarcat que lei nombres dei colonas 3 e 4 èron pariers per aquélei sordats.

• Aquela empega! Vòstre capolissime Capolìer a quauqua ren dins la tèsta, qu`ai dich à ZI-han que me rebequèt :
• Va fau dire à degun, mai sabi que lo mòde de recrutament es basat sus la famosa disseccion de Farey.
• Fan de chichorla! La disseccion de Farey, n`ai jamai ausit charrar, que diguèri à mon amic C.O.P.P.

Sabètz coma siéu curiós e nasejaire, alora ai brancat mon computador-de-bofiga sus lo malhum intergalactic e ai picat :

D.I.S.S.E.C.C.I.O.N   D.E   F.A.R.E.Y

Sus mon escran-plasmatic es apareissut lo tableu çai-après.

Mòde d’emplec :

Un nòveu nombre rot p/q s’inserisse entre 2 nombres rots consecutius a/b e c/d se e soncament se

p = a + c          q = b + d

De fraccions! Ren d’autre que de fraccions. Au rnot « disseccion » m’èri imaginat de causas òrras, de molonàs de cadabres dins una mòrga, amé d’únei tipes per lei decopar da pertot. Èri solatjat. Mai quina idea de sonar « disseccion » questa mena d’engimbrar lei nombres racionaus!

Ieu à despart d’escriptura, coneissi pas grand causa subretot que çò qu’es de sciéncia, per quant ai matematicas… Per pas tròp aguer l’èr d’un colhon, siéu anat trobar mon grand companh, mon doble, mon autre-ieu que m’a tot explicat :

• Dins son mòde de recrutament lo capolissime Capolier dau País de Papaflarnia t’a considerat ren que lei denominators dei fraccions e soncament sus la mitat dau tableu, que me diguèt, puei me faguèt çò que sonèt

Puei ajustèt:

• Quora lo nombre es premier impar va sortir :

(n – 1) : 2 còups au reng n

Leis oficiers an un matricule qu`es un nombre premier. Leis promiera classa un

matricuìe qu’es un nombre compausat.

De verai lo capolissime Capolier dau País de Papaflarnia es quauqu’un de la boana. Aqueu recrutament que permete de tercejar lei sordats-promiers dei sordats-compausats e que dona d’èr d’èstre mai que mai aleatòrì es mai que mai organisat d’un biais extremament militari.

Aquela istòria mai que mai ficcionesca s’acabava coma aquò sensa minga explicacion. Es estat decidit ansin per ieu e lo director de la revista « Lo Gai Saber », que la publiquèt dins lo n° 490 de l’ivèrn de 2003.

Me fau precisar qu’aquest director èra Felip Carbona, ara defuntat, que coma ieu èra professor de matematicas.

**********

Per Sapiéncia, vaquí l’explicacien de la formula :

Quora lo nombre es promier impar va sortir

(n-1) : 2 còups au reng n

Se nòti L(n) lo nombre de fraccions au reng n :

L(n) – L (n-1) = Ø(n)

Ø(n) es l’indicatritz d’Euler, qu’indica lo nombre de nombres promiers amé n, valent à dire aguent pas ges de divisors comuns amé n.

Dins la seguida de Farey, vènon de fraccions irreductiblas quora prenèm un nombre p toei lei nombres inferiors à p son promiers amé p, adonc Ø(p) – Ø(p-1) = p-1

e L(p) – L (p-1) = p-1     ò          Ø (p) – Ø (p-1) = (p-1)/2

Exemple :

• Au reng 4 lei novèlei fraccions son 1/4, 3/4 Ø(4) = 2

Au reng 5 lei novèlei fraccions son 1/5, 2/5, 3/5, 4/5

Ø(5) = 4                (5-1)      5 promier

Ø (5) – Ø (4) = 4-2 = 2 = (5-1)/2

• Prenèm 9 qu’es compausat

Ø (9) = 6               Ø (8) = 4

Ø (9) – Ø (8) = 6-4 = 2 ¹ (9-1)/2

Es una proprietat caracteristica dei nombres promiers.

Un article de Joan-Glaudi Babois *

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

Messa en forma : Reinat TOSCANO

Messa en forma dei tableus : Felip CARBONA

[1] L’annada papaflardiana es egala à 3473 annadas terrèstras.

[2] Joines papaflarnians.

Fotografia principau: Angelandspot/CC

Es aisat de verificar questa formula :

(A + B)² – (A – B)²

= (A² + 2AB + B²) – (A² – 2AB + B²)

= 2AB + 2AB

= 4AB

Siegue :

AB =

Amé quèstei taulas, lo produch es obtengut per una sostraccion, alora qu’amé lei logaritmes es obtengut per addicion. Vaquí un exemple simple :

A = 7               B = 5

(A + B)² = 12² = 144

= 36

(A – B)² = 2² = 4

= 1

36 – 1 = 35

Lo professor nos avié donat una fotocòpia dei taulas, qu’avèm utilisat per quàuquei calculs qu’avèm verificats.

Exemple :

89 013 x 479

Soma : 89 013 + 479 = 89 492

Taula : 2 002 204 511

Diferéncia : 89 013 – 479 = 88534

Taula : 1 959 567 289

89 013 x 479 = 2 002 204 511 – 1 959 567 289

= 42 637 227

Podètz verificar, es just…

En 1888, un matematican francés a realisat de taulas fins à 200 000. Ié disién Joseph Blater. L’an seguent, 1889, James Glaisher, de l’Universitat de Cambridge, especialista de la teoria dei nombres, escriuguèt un article dins la revista « Natura » per sotalinhar que quest metòde èra practic e ingeniós, de natura simpla.

NB : Estent que siam dins lei calculs, vaquí una part istorica à-n-aqueu prepaus.

NON FAU MESCLAR

Johann Hiob Ludolf, matematician belga (1649-1711) e Van Ceulen Ludolph, matematician germanic (1540-1610) de l’Universitat de Leyde, qu’es foarça conegut per aguer calculat 35 decimalas exactas de p, qu’èra estat sonat «nombre de Ludolph» e gravat sus son tombeu. Son calcul foguèt fach coma l’avié fach Arquimèdes, amé un poligòne regular de 2^62 costats. La notacion p, promiera letra de περιφέρεια, «périphérie, circonférence» en lenga grèga, es deguda au matematician gallés William Jones (1675-1749) en 1706, puei adoptada d’una mena regulara.

k e John Napier ò Neper (1550-1617), qu’es à l’origina dei logaritmes. Èra un matematician escocés qu’en 1614 publiquèt un libre titolat «Mirifici Logarithmorum Canonis Discriptio». Per calcular A x B sus la taula dei logartitmes, se cèrca log A puei log B sus la taula (Se nòta «log_b A» per lo logaritme de A en basa b. Per convencion, non se nòta la basa quora es 10). Fau puei ajustar log A + log B per obtenir A x B directament de la taula, estent que log (A x B) = log A + log B.

Dau temps qu’èri estudiant à la Facultat dei Sciéncias Sant Carles de Marselha, l’esquasi totalitat dei calculs èron fachs amé una taula de logaritmes, à despart dins un certificat d’estatistica monte faguèri de molons de calculs dins la mecanica dei fluides amé la maquina à calcular mai pichona, totalament mecanica, sonada «Curta», creada per l’engenhaire austrian Curt Herzstark (1905-1988). La maquina, de tipe I,  fasié 8,5 cm d’aut, 5,3 cm de diamètre e pesava 230 g. Fuguèt puei perfeccionada en tipe II : 9 cm d’aut, 6,5 cm de diamètre e 360 gr.

Curt (d’onte «Curta») t’avié dessenhat lei plans alora qu’èra à Buchenwald, son paire estent jusieu. Fuguèron produchas quàuquei 500 000 maquinas enjuscas lei maquinas electronicas. Aquéstei maquinas son de descendentas de la promiera maquina à calcular, deguda à Blaise Pascal (1623-1662), dicha «Pascalina» (» 1651).

Un article de Joan-Glaudi Babois *

Messa en paginas de Reinat TOSCANO

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

N(P) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,…}

Non existisse una formula per donar toei lei nombres promiers, mai d’únei son estadas trobadas que n’en dónon un cèrt nombre ò un molon, mai amé de repeticions.

Euclides d’Alexandria : Matematician (300 av. JC)

A mostrat que non existissié un nombre promier mai grand que toei leis autres, qu’adonc i a una infinitat de nombres promiers.

Marin Mersenne : Monge matematician, fisician (1588-1648)

Avié pensat que 2^p-1, quora p es promier, èra sempre un nombre promier. Çò qu’es pas totjorn lo cas.

En 1456, un matematician desconegut a mostrat que 2^13-1 = 8 191 es promier.

Quatre ans après, en 1460, un anonime es passat à 2^17-1 = 131 071 qu’es promier.

A faugut esperar 1588 per que Pietro CATALDI, matematician italian (1548-1626), mostrèsse que M(19) = 2^19-1 = 524 287 es promier.

Puei es Leonhard FULER, matematician soísse (1707-1783), qu’en 1739 es passat à M(31) = 2^31-1 = 6 700 417, nombre promier.

A faugut esperar encara quàuqueis annadas per que Edouard LUCAS, matematician francés (1842-1891), demostrèsse que M(127) es promier en 1876. Un calcul important, estent qu’aqueu nombre dins lo sistema decimau es compausat de 39 chifras. Vaquí çò que tròbi sus la pagina WOLFRAM ALFA en una durada foarça corta :

(https://www.wolframalpha.com/input?i=2%5E117-1)

Après aqueu matematician, lei calculs son estats fachs per de maquinas puei de computadors, e passam à la mitat dau siècle seguent.

En 1952, lo 30 de janvier, un cèrt Robinson a mostrat que M(521), compausat de 157 chifras, es promier.

La mema annada, es passat à M(2281), nombre promier amé 687 chifras.

Amé lei progrés de l’informatica, es estat mes en rota lo projècte G.I.M.P.S. (Great Internet Mersenne Prime Search, es à dire la recèrca dei nombres promiers de Mersenne sus lo grand malhum).

Es ansin que Armengaud, Woltan e d’àutrei matematicians tròbon lo 13 de novembre de 1996 que M(1 398 209), compauat de 420 921 chifras decimalas, es promier.

Lo recòrd es foarça mai grand qu’aqueu d’avant.

Lo darrier recòrd, de Luke Durant, data dau 12 d’octòbre de l’an passat 2024, siegue M(136 279 841) promier amé 41 024 320 chifras.

41 milions de chifras decimalas, de que clafir foarça libres de chifras… Lo precedent recòrd datava dau 7 de decembre de 2018, èra degut à Patrick Laroche, sempre amé lo G.I.M.PS. : M(8 589 933) promier amé 24 862 048 chifras. 6 annadas per passar de 24 milions à 41 milions de chifras.

Quant de temps faudra-ti esperar per trobar un autre nombre promier de Mersenne mai grand ? bessai amé lei computaires quantics ! Amé de q-bits luega de bits.

(bit = Binary Digits /Chifras binàrias : ò zèro ò un).

NB : lo q-bit ò qu-bit (quantum-bit) es un sistema quantic à dos niveus que son notats /0> e /1> (prononciats « kèt zèro » e « kèt un »), cf. lo matemacian Dirac.

Amé la sobreposicion quantica, l’informacien es diferenta d’un bit onte avèm siegue 1 siegue 0. Un bit pòu aver una infinitat d’estats, taus que :

a /0> + b /1> amé /a/² + /b/² = 1

/a/² e /b/² represènton la probabilitat d’aguer /0> ò /1> (cf. Benjamin Schumacher, qu’a formulat tot aquò en 1995).

Ai precisat tot aquò qu’es luènh d’ètre simple e qu’escapa à la noastra logica.

RECÒRD PER LEI NOMBRES PROMIERS BESSONS

Lei nombres promiers bessons son (3,5), (5,7), (11,13), (17,19), …

Foguèron descubèrts dins l’annada 2015. Lo pareu mai grand foguèt descubèrt en 2019 per lo matematician francés Alphonse de Polignac :

(2 996 863 034 895 x 2^1 290 000 + 1, 2 996 863 034 895 x 2^1 290 000 – 1)

Son de nombres finalament pichonets : 388 342 chifras decimalas, còntra lei 41 milions dau nombre promier mai grand coneissut…

***

PS : l’an passat, una carta postala es estada publicada per CARTED (www.carted.eu), onte se tròba mon teorema A331764 (site O.E.I.S), publicat à l’origina dins Sapiéncia.

Dins Sapiéncia dau 21 de mai de 2024, ai publicat « Una caracteristica dei nombres promiers bessons », que fuguèt repertoriada dins l’O.E.I.S. ( A372069) amé l’inscripcien çai dessuta en provençau. Amé mon teorema, es possible de verificar qu’un nombre es promier.

Joan-Glaudi BABOIS, mai de 2025

Paginacion de Reinat TOSCANO

Fotografia principau: Angelandspot/CC.

I

Dins un balèti se tròbon exactament 20 dròlles e chatas.

Lo promier dròlle dança amé 5 chatas.

Lo segond amé 6.

Lo tresen amé 7.

E parier una de mai à la seguida.

Lo darrier, eu, t’a dançat amé caduna dei chatas.

La question es: quant i a de chatas?

II

Lo jorn de l’an de questa annada de 2025, siéu anat en cò de mon amiga Nadala per ié sovetar “la boana annada”, puei avèm charrat de sa familha. Vaquí çò que me diguèt à prepaus de sa filha Natalia:

“Avant-ièr, Natalia t’avié 17 ans, l’an que vèn aurà 20 ans”

Ai pensat:

“Mai Nadala a perdut la tèsta. Non es possible!”

Avié rason, la Nadala. Podètz trobar perqué?

III

Ai dos còups l’atge qu’aviatz quora aviéu l’atge qu’avètz.

Quora aurètz l’atge qu’ai, aurèm ensèms 72 ans.

Trobatz l’atge de cadun.

IV

Au mes de febrier de 2025, siéu anat à Tolon visitar l’amic Pèire, qu’aviéu pas vist despuei d’annadas.

Encò sieu, ai rescontrat Robèrt, un amic de Pèire que non coneissiéu. Avèm charrat de cauvas e d’autras, puei me diguèt qu’ensenhava la filosofia, e ai replicat:

“Ieu èri professor de matematicas.”

Alora m’a dich:

“Ai un problema originau à prepaus de meis enfants:

Anna – Johan – Loís

Lo produch de seis atges es 72 e aquéleis atges an per soma lo numèro de l’ostau qu’es just en fàcia de quest ostau, de l’autre costat de la carriera de la Republica.”

D’onte èri, èra pas ges possible de vèire lo dich numèro.

Ai dich au Robèrt:

“Non m’es possible de trobar leis atges.”

Alora ajustèt:

“Vos pòdi dire qu’ai de bessons, e que lo màger, Loís, lo dimècres es inscrich dins un club d’escacs.”

E a acabat en disent:

“Vos laissi, que devi anar quèrre meis enfants à l’escòla.”

Amb aquésteis informacions, ai poscut trobar leis atges d’ Anna – Johan – Loís.

À vos de lei trobar.

SOLUCIONS

I

Nòti     D lo nombre de dròlles

C lo nombre de chatas

Adonc, D + C = 20

Lo Dⁿ dròlle dança amé

5 + (D-1) chatas. D’acòrdi?

Alora, es que:

D + 5 + (D-1) = 20

Siegue 2D = + 4 = 20

2D = 16

D = 16/2 = 8 e C = 20 – 8 = 12

Solucien: 12 dròlles e 8 chatas (fau pas tròup cercar amé 5, 6, 7,…)

II

Vaquí çò que m’a explicat Nadala/

“Uei, es lo promier de l’an 2025.

Ma filha Natalia es naissuda lo 31 de decembre de 2006.

Adonc aièr lo 31 de decembre de 2024 a agut exactament 18 ans.

E avant-ièr lo 30 de decembre avié 17 ans, còmpti pas lei mes.

Adonc lo 31 de decembre de questa annada t’aurà 19 ans.

E l’an que vèn, lo 31 de decembre de 2026 aurà exactament 20 ans

III

Estent qu’avèm lo present, lo passat, lo futur, lo mièlhs es de faire un esquema temporau de la persona que parla e de l’autra:

x es l’atge au present d’aqueu que parla

y es l’atge de l’autre

Passat Present Futur

y          x          72-x       Ieu

2y-x     y              x          Vos

x es l’atge au present d’aqueu que parla

y es l’atge de l’autre

Una causa importanta es la diferéncia d’atge qu’es sempre pariera:

D=x-y

Una causa importanta es la diferéncia d’atge qu’es sempre pariera:

S’aqueu que parla a y ans d’atge, l’autre a

y – d = y – (x – y) = 2y – x

Adonc x = 2 (2y – x)              2 coups l’atge de l’autre.

x = 4y – 2x      siegue

Quora l’autre a x ans, aqueu que parla a x + d ans, siegue:

x + (x – y) = 2x – y

Adonc x = 2 (2y – x)              2 coups l’atge de l’autre.

x = 4y – 2x      siegue 3x=4y

Quora l’autre a x ans, aqueu que parla a x + d ans, siegue:

x + (x – y) = 2x – y

Soma dei dos atges:    x + 2x – y = 72

3x – y = 72

Coma 3x = 4y, vèn      4y – y = 72

3y = 72

y = 72/3

y = 24

3x = 4y

3x = 4 * 24

x = 4 * 24 / 3

x = 4 * 8

x = 32

Verificacion: 2y – x = 2 * 24 – 32 = 48 – 32 = 16

16 + 8 = 24

24        32        40

16        24        32

IV

72 estent lo produch deis atges, avèm cercat 72 sota la forma de produchs de 3 nombres.

Trobam:

A = 6*4*3

B = 8*3*3

C = 2*6*6

D = 9*4*2

E = 12*3*2

F = 18*2*2

Lei cas A, D e E se dévon eliminar, bòrd que i a ges de bessons, çò qu’au contrari se verifica per B, C e F.

Dins l’enonciat dau problema, es dich que lo màger va cada dimècres au club d’escacs.

Aquò elimina lo cas C, onte aqueu que non es besson non es lo màger.

Rèston lei cas B e F.

La clau es que Robèrt a dich que devié anar quèrre seis enfants à l’escòla. À 18 ans, se va pusleu au liceu ò à l’Universitat. Doncas lo cas F non se pòu retenir.

Alora, Loís a 8 ans e Anna e Johan, lei bessons, an 3 ans.

Ansin podèm comprendre que lo n° de l’ostau d’en fàcia es:

8 + 3 + 3 = 14

Accesoriament, aquò nos indica tambèn qu’eriam à senèstra de la carriera (dins la numerotacion oficiala, lei numèros pars son à drecha, lei numèros impars à senèstra).

Un article de Joan-Glaudi Babois *

Messa en paginas e ajuda per lo n° IV de Reinat TOSCANO

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

Fotografia principau: Wilson Leonel/CC.

Retorn à l’ostau lo 18 de decembre 2024, à Pinhans (es notat ansin dins de vièlhs documents).

E es coma aquò qu’arribam à 2025…

Existisse una proprietat particulara que liga lei chifras de 0 à 9 amé 2025. 2025 = 45^2 (45 au carrat). Aquela puei! 2025 es un carrat perfièch (just avant avèm agut 44^2 = 1936, e après aurèm 46^2 = 2116). Evidentament, notam que, cada còup, l’escart entre doás annadas d’aquesta natura aumenta de 2N + 1:

Es l’amic Reinat TOSCANO que m’a transmés per corrièl aquesta proprietat, trobada sus lo malhum, mai onte mancava lo zèro, aqueu nombre qu’es lo mai important dins la numeracien decimala.

Vaquí quàuqueis explicacions.

Se cercam la soma dei nombres consecutius despuei 0, vèn:

S = SOMA (I = 0 fins N) I = N (N+1)/2

Vaquí un exemple amé N = 7

Se calculam lo carrat de la soma, avèm:

S^2 = [N (N + 1) / 2]^2

Amé N = 7, dona:

7 x 8/2 = 28

28^2 = 784

Existisse una relacion entre aquesta soma au carrat e la soma dei cubes de la mema seria de nombres:

T = SOMA (I = 0 fins N) I^3 = S^2

Exemple amé N = 7

T = 0^3 + 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3  + 7^3

= 0 + 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 = 784

Se prenèm lei chifras de 0 fins à 9, vèn:

Per finir amé 2025, doás remarcas de l’amic Reinat, que nos remàndon au 45 mencionat çai-sobre:

1) (00 + 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99)^2

= 495^2

= 245 025

S’escafam lo famós 45, se retrobam amé 2__ 025, doncas, encara un còup 2025.

2) Se partissèm 2025 en doás parts, obtenèm 20 e 25, e 20 + 25 = 45. Encara un còup…

Adonc vaquí una annada que matematicament t’a una poderosa ligason amé toei lei chifras. Sensa oblidar que 2 + 0 + 2 + 5 = 9, e en provençau se ditz: “Article nòu, cadun fa çò que vòu”. Sarié doncas una annada de libertat?

À-n-aqueu prepaus, pòdi escriure:

(2 + 0 + 2 + 5)*(2 – 0 – 2 – 5) = 9 x (-5) = -45

E (-45)^2 = 2025

La bocla es boclada!

PITAGÒRAS:

Se 2025 es lo carrat d’una soma, es tambèn la soma de dos carrats.

Me sovèni d’una recèrca facha amé mon ancian vesin Enric MAURAN à prepaus de triangles pitagoricians, valent à dire rectangles verificant lo famós teorema de Pitagòras.

2025 = 45^2 = 36^2 + 27^2

            Aquí retrobam un còup de mai lo 9:

            4 + 5 = 9

            3 + 6 = 9

            2 = 7 = 9

            e

27, 36, 45 es una seguida aritmetica de rason 9.

Lo triangle ABC, monte AB = 27, AC = 36 e BC = 45 es rectangle en A.

CHIFRAS ROMANAS:

S’escrivèm 2025 en chifras romanas, avèm (qu’es aisat de legir):

MMXXV

            M per 1000

            X per 10

            V per 5

            (non existisse lo “zèro”)

ÀUTREI REMARCAS:

            L’amic Patrick NAYLOR, sensa aver vist mei calculs sobre 2025, m’a mandat per corrier aquéstei remarcas (en francés, qu’ai revirat en provençau):

• 2025 es lo carrat la soma dei nombres qu’an solament una chifra soleta (qu’es un carrat perfièch):

2025 = (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)^2

= 45^2 (coma es mostrat mai aut)

• 2025 es lo produch de 2 carrats:

2025 = (5^2) x (9^2) = 25 x 81

• 2025 es la soma de 3 carrats:

2025 = (5^2) + (20^2) + (40^2)

2025 = 25 + 400 + 1600

Per clavar, vos rapèli qu’es devèrs l’an 810 qu’un matematician pèrse, ALKAWARISMI (ò ALKAWARIZMI), a escrich un libre (KITAB), qu’es un tracta de l’addicien e de la sostraccien d’après lei chifras hindis. Lo mot “algoritme” es una deformacion de son nom: algorismus en latin. Es d’eu que vèn lo mot “algèbra”.

Es l’introduccion dau zèro qu’a permés lo calcul escrich.

En sanscrit, es lo mot “shonia” que desinha lo vueje. En arabe es lo mot “sifr” (per “vueje”) que fuguèt utilisat. “sifr” a donat “chifra”, mai tambèn “zèro”, “sifr”, “sefir”, “zefiro”.

A faugut de temps per passar dau monde arabe à l’Euròpa, estent que “vueje” fasié paur…

oooooooooooooooo

Se n’en volètz sacher mai subre lei chifras, vèire lo libre de Georges IFRAH, Histoire universelle des chiffres, colleccien Bouquins, Robert LAFFONT, 2 tòmes.

Ma cronica s’inscriu dins lo quadre d’una re-educacien matematica. La maqueta, coma sempre, es realisada per Reinat TOSCANO. Es eu que m’a fach descurbir aquesta revista numerica onte siéu ara au Comitat de redaccien. Es eu tambèn qu’a realisat la maqueta de la carta postala que presenta mon teorema sus lei nombres promiers. Encar’ un còup, gramací!

Gramací tambèn au Patrick NAYLOR. Quèstei demarchas m’agràdon!

Joan-Glaudi BABOIS, janvier de 2025.

N.B.: cronica venenta: lo mai grand nombre promier coneissut.

Un article de Joan-Glaudi Babois *

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

Un article de Joan-Glaudi Babois *

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

Mesa en pagina : Stéphane Foresti, ensenhaire de matematicas au Liceu Bonaparte e à l’UFR Sciéncias economicas de l’Universitat de Tolon e de Var – Stephane-Jean-M.Foresti@ac-nice.fr ò stephane.foresti@univ-tln.fr

Correccion dau provençau : Reinat Toscano.

Es dich que lo Pitagòras naissèt dins l’isla de Samos, dins la Mar Egea, devèrs 580 av. J.-C., que creèt son escòla à Crotòna (Italia) devèrs 532 av. J.-C., e que moriguèt à Metaponte en 497 av. J.-C.

Son foarça coneguts:

• Sa taula de multiplicacion amé dobla entrada, que permete de vèire la comutativitat d’aquesta operacion.
• Son teorema sus lei triangles rectangles.
• Lei nombres figurats que sota la forma de ponchs represènton de figuras geometricas, triangle, cairat, pentagòne, exagòne, eptagòne, octogòne, nonagòne (ò enneagòne), decagòne, etc.

NOMBRES TRIANGULARIS

D’en promier, lo triangle unitari.

1 ponch, puei un triangle equilaterau de costat 2

Seguit dau triangle de costat 3, etc.

VÈN LA SERIA:

          1 – 3 – 6 – 10 – 15, etc.

Basta d’ajustar 2 puei 3 puei 4 puei 5, etc.

NOTARÈM: T (1) = 1             T (2) = 3     T (3) = 6

D’onte lo tableu:

(documents © Gérard VUILLEMIN,

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbTrianB.htm)

FORMULA GENERALA

T (N) = N * (N + 1) / 2

Exemple: T (100) = 101 / 2 = 50 * 101 = 5050

QUÀUQUEI CALCULS SUS LEIS INVÈRSES

1 / T (N) = 2 / [N * (N + 1)]

AI CERCAT LA SOMA, PAUC À CHA PAUC

          (resultat arredonits à la 4a decimala)

          1

          1 + 1/3 = 1,3333

          1 + 1/3 + 1/6 = 1,5

          1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 = 1,6

          SOMA (1 à 20) = 40/21 = 1,9047

          SOMA (1 à 30) = 60/31 = 1,9355

          SOMA (1 à 50) = 100/51 = 1,9607

Adonc avèm:  SOMA (1 À N) = 2N / (N + 1)

Quora N tende vèrs l’infinit, N / (N + 1) tende vèrs 1

SOMA (N = 1 juscas l’infinit) 2 / [N * (N + 1] = 2

AI AGUT L’IDÈIA DE FAIRE DE CALCULS PER PAQUETS DE 10

Per aquò faire, ai utilisat “Wolfram Alpha Computational Intelligence”, que me va balhar de resultats sota forma fraccionària simplificada, qu’autrament lei calculs son longàs.

en anglés, nòti:

SUM (N = 10 to 20) 2 / [N * (N + 1)] = 11 / 105

SOMA (N = 10 juscas 20) 1 / T (N) = 11 / 105

SOMA (N = 20 juscas 30) 1 / T (N) = 11 / 310

SOMA (N = 30 juscas 40) 1 / T (N) = 11 / 615

SOMA (N = 40 juscas 50) 1 / T (N) = 11 / 1020

SOMA (N = 50 juscas 60) 1 / T (N) = 11 / 1525

SOMA (N = 60 juscas 70) 1 / T (N) = 11 / 20130

Siéu estat susprés que lo numerador siegue sempre 11, çò qu’es mai que curiós.

Per çò qu’es dei denominadors, se remarca:

• Que trobam en promier

1,3,6,10,15,21

que son T (1) – T (2) – T (3) – T (4) – T(5) – T(6)

• Après, trobam

5,10,15,20,25,30

valent à dire la mitat de la promiera valor de N

N’EN SIÉU ESTAT ENCHALAT,

ENCARA UN CÒUP LA POESIA DEI NOMBRES

Segur qu’à-n-un moment li aurà plus ges de separacion, que lei doás partidas s’ajustaran d’una mena decalada.

Es per exemple çò que se debana per la soma calculada de 1000 juscas 1010.

SOMA (N = 1000 juscas 1010) = 11 / 505500

T (100) = 5050 (vèire avant)

1000 / 2 = 500

Avèm          5050

          +             500

          ____________

                   505500

Adonc ai cercat de realisar una formula generala.

M’a faugut quàuquei recèrcas, e vaquí çò qu’ai trobat:

SOMA [N = 10P juscas N = 10 * (P+1)] = 11 / [5P * (10P + 11)]

Vaquí lo calcul per P = 100

SOMA (N=1000 juscas 1010) = 11 / [5 * 100 x (10×100+11)]

                                      5 * 100 * (10 * 100 + 11) = 500 * 1011 = 505500

Un aute per P = 500

SOMA (N=5000 juscas 5010) = 11 / [5 * 500 x (10 x 500+11)]

                                      N = 11

D = 2500 * 5011 = 125275500

Verificacion amé WOLFRAM ALPHA

Ai agut una autra idèia: cercar lei somas dei nombres triangularis coma l’aviéu fach per serias de 10 en 10 amé leis invèrses.

VAQUÍ ÇÒ QU’AI TROBAT:

SOMA (N = 10 juscas 20) N * (N + 1) / 2 = 1375

De 20 juscas 40    10 150

De 40 juscas 60    27 160

Ren de particular.

Ai assatjat de 5 en 5. Pas ren encara

MAI TE VAQUÍ PAS QUE PER ERROR AI TROBAT: 19 luega de 20

SOMA (N = 10 juscas 19) N * (N + 1) / 2 = 1165

Ai mantengut

SOMA (N = 20 juscas 29) N * (N + 1) / 2 = 3165

Aviéu 1 = T(1)      3 = T(2)

          e 165 = 11T(5)

ai pensat de trobar après:

30 – 39       6 165

40 – 49       10 165

Èra exacte. Adonc ai escrich una formula generala:

SOMA (N = 10P juscas 10P + 9) N * (N + 1) / 2 = 1000 * T(P) + 11 * T(5)

Amé leis invèrses:

SOMA [N = 10 juscas 10 (P + 1)] 2 / [N * (N + 1)] = [5P * (10P + 11)]

Es çò que sòni la poesia dei nombres.

Curiós coma siéu, ai cercat en ajustant 1

LO MISTÈRI DE 1 EN MENS ES EXTRAORDINARI

Tot aquò me rapèla lo libre

“LES NOMBRES ET LEURS MYSTÈRES”

d’André WARUSFEL

Éditions du Seuil, Le rayon de la Science

1961

bessai reeditat.

L’ai crompat en 1962 quora èri en classa de Mathelem au Liceu Dumont D’Urville à Tolon

Es çò que m’a aduch à aprefondir mei recèrcas numericas.

ooo

À venir, quàuquei calculs tocant lei nombres triangularis e pentagonaus centrats un pauc mai complicats.

Un article de Joan-Glaudi Babois *

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

(messa en paginas: Reinat TOSCANO)

]]> https://sapiencia.eu/un-pauc-de-matematica/ Mon, 29 Jan 2024 17:23:30 +0000 https://sapiencia.eu/?p=25470 Es pas gaire corrent d’escrieure un article sus questa matiera dins Lo Convise. Uei ai decidit de va faire. Pas ren de complicat. Es a prepaus dei nombres promiers, valent a dire dei nombres entiers qu’an sonque 2 divisors, 1 e eu meme. Coma :Nombre

2-3-5-7-11-13-17-19-23-29-31…

N‘en exista una infinitat, çò qu’es estat demostrat l-i a fòrça temps per lo famós Euclide, matematician grec (3^en sègle avant J-C). Non exista de formula balhant lo N^en nombre promier, lo mai grand coneigut a l’ora d’ara, es :

2 _^ 82 589 933 – 1

NB : _^ indica la poténcia

Aquèu nombre promier descobert lo 7 de decembre de 2018 es compausat de quauques 24 milions de chifras dins nòstre sistema de numeracion decimala.

Dintre lei nombres promiers se n’en tròba que son separats de 2 unitats, son dichs promiers bessons,  vaquí la lista :

(3,5) – (5,7) – (11,13)  – (17,19) – (29,31)…

Es pas sachut se n’en exista una infinitat.

Vaquí una proprietat d’aqueles promiers bessons que veni de descobrir. Pas res d’extraordinari. Quora un nombre es promier estent qu’a sonque dos divisors, 1 e eu meme, la soma de ses divisors es egala a eu-meme augmentat de 1

Questa soma es notada sigma, adonc

P promier        sigma (P) = P+1

Ai agut l’idea, per dos nombres promiers bessons, de cercar la soma dei divisors de son produch.

Exemples

. 3 e 5                   product 3*5=15

15 a sonque 4 divisors 1, 3, 5, 15

Sigma (15)=1+3+5+15=24=4*6

Sigma (3*5)=4*6

.11 e 13       product 11*13=143

143 a sonque 4 divisors 1, 11, 13  143

Sigma (11*13)=1+11+13+143=168

Sigma (11*13)=12*14

. 17 e 19      product 17*19=323

323 a sonque 4 divisors 1, 17, 19, 323

Sigma (17*19)=1+17+19+323=360

Sigma (17*19)=18*20

Dins lo cas generau se P e P+2 son promiers bessons

lo calcul generau es

sigma [P*(P+2)]=1+P+P+2+(P+2)=1+P+P+2+P^2+2P

que mena a sigma [P*(P+2)]=P^2+4P+3)=(P+1)*(P+3)

P^2+4P+3 equacion dau second gra

4=1+3                   3=1*3

Questa proprietat es ara repertoriada sus lo site american de l’O.E.I.S. Sota la referéncia A362941 (L’O.E.I.S. the ON-LINE ENCYCLOPEDIA OF INTER SEQUENCES)

Valent a dire una enciclopedia en linha de seguidas numericas entieras. Ai quauquei descobertas notadas sus aquèu site :

A 169888     7 julhet 2010

A 218155     22 octobre 2012

A 089 034    13 janvier 2012

A 174549     28 octobre 2014

A 224224     8 abriu 2013

A 214367     20 febrier 2013

A 257530     29 abriu 2015

A 331764     5 febrier 2020

Un article de Joan-Glaudi Babois *

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.

(tèxte publicat dins LO CONVISE n°125)

Aqueu A 331764 es una proprietat caracteristica dei nombres promiers qu’es un teorema que porta mon nom. Sa promiera publicacion es estada facha dins la revista numerica scientifica sonada SAPIENCIA.EU en lenga provençala, monte ai una cronica sus lei matematicas. Ai fach trasmetre la mieuna descoberta a Neil Sloane lo creator e administrator de l’O.E.I.S. per Cristian Andreu lo cap director de Sapencia onte sieu sòci dau comitat de redaccion (una revirada en American). Queste teorema es tanben notat sus lo site Wolfram Mathworld dins la rubrica Prime Suns numerò 38. [prime : promier ; sums : somas]. Wolfram Mathworld es un repertòri  dei formulas matematicas mai importantas.

Una permutacion d’objèctes distints es un ensèms format per aquèsteis objèctes classats per òrdres variats.

Permutacion

P (N) per n objèctes

Exemple amé N=3

objèctes A, B, C

En començant per A, avèm

A, B, C

A, C, B

En començant per B, avèm

B, A, C

B, C, A

En començant per C, avèm

C, A, B

C, B, A

Adonc P(3) = 6

Amé N=6

. Podèm atribuïr la promiera plaça à cadun dei 6 objèctes

. Apres avèm 5 menas de chausir lo dosen siegue ­6 * 5

. Puei vendrà una chausida per 4, puei 3, puei 2, puei 1, siegue un totau de

6*5*4*3*2*1  notacion  6 !

P (6) = 6 ! = 720

Formula generala

P (N) = N ! = 1 * 2 * 3 * 4*…. (N-1) * N

Per la nuèch de la lectura dins mon vilatge de Pinhans, dins la sala dau vièlh molin, ai escrich 20 fulhets que pòdon balhar P (20) = 20 ! racòntes diferents.

Ai atribuit lei letras A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T

Vaqui lo calcul exact de 20 ! = 1*2*3*4*… 18*19*20

Dins lo site Wolframalpha computational Intelligence

Input

20 !

Result

2432902008176640000

Scientific notation

243290200817664*10^18

10 ^ 9 = 1 miliard                                                                                10 ^6 = 1 milion

Adonc avèm a pauc près

2,4 miliards de miliards de possibilitats = 2,4 . 10 ^ 18 = 24 . 10 ^ 17

que nòti 2,4 biliards

2,4 trilions = 2,4 milions de milions de milions

Non son lei notacions internacionalas :

Leis ai escrichas coma aquò, que son aisadas à comprene.

Una estimacion dau temps

Que faudrié per legir

Tot l’ensèms

. Temps de lectura de 20 fulhets quaus que siégon

25mn

1mn per 1 fulhet

5 mn per lei cambiamants de fulhet

. Supausi una lectura de 5 oras per jorn : durada 300 mn

Siegue un nombre de 12 permutacions per jorn

300 / 25 = 12

. Supausi une lectura dau temps de 200 jorns per una annada

                      12×200= 2400

Nombre de permutacions per un siècle

2400 x 100 = 240000

Nombre de permutacions per un milenari

2.400.000 = 2,4 milions = 24 . 10 ^ 5

Nombre de milenaris per legir lei 2,4 biliards de permutacions

24 . 10 ^ 17 / 24 . 10 ^ 5 = 1*10 ^ 12

siegue 1 bilion de milenaris

Es pron grandàs

un bilion de milenaris

Fau prene son temps

Paciéncia !

…

Amé aquélei 20 fulhets ai un recòrd de lectura

ben que ben mai grand que grand que lei

Cent milas miliards de poemas

 libre-objècte de Raymond Queneau publicat en 1961

compausat de 10 sonets segond la forma

ABAB / ABAB / CCD / EED

Cada vèrs es sus una lengueta mobila

adonc es possible de chausir un poema

amé de lenguetas diferentas

siegue 10^14 possibilitats

Raymond Queneau a fach un calcul dau temps

necessari per legir tótei lei possibilitats

Tròba soncament dins lei

190 milions d’annadas

Per la nuèch de la lectura non ai legit una tièra de 20 fulhets

me siéu contentat de n’en legir sonque un desenau

valent à dire qu’ai legit una combinason de 10 sus 20

Notacion C (20, 10)

La combinason C (n, p) es l’ensèms de p objèctes

distints onte son chausits n objèctes, sensa tenir còmpte de l’òrdre

Vaquí d’exemples

 Amé 4 objèctes ; chausidas de 2

A, B, C, D     vèn     AB-AC-AD

BC – BD              siegur  3+2+1 = 6

CD

notarèm C (A,2) = 6

Ame 5 objèctes ; chausida de 2

A, B, C, D, E                         AB – AC – AD – AE

BC – BD – BE                       siegue  4 + 3 + 2 + 1 = 10

CD – CE

DE                                          notarèm C (5, 2) = 10

Remarca podèm notar

C (n,2) = (n-1) + (n-2) + (n-3) + … +1

Formula generala

C (n, p) = n * (n-1) * (n-2) * …(n-p+1) / p*( p-1) *… 2 * 1 = n ! / p ! (n-p) !

Vaquí quàuqueis exemples

C (20, 4) = 20 * 19 * 18 * 17 / 4*3*2*1

avèm lo meme nombre d’elements au numerador

e au denominador

C (20,4) = 116 280 / 24 = 4845

Remarca

C (20, 4) = C (20, 16) vèn de p ! (n-p) !

Vaquí d’àutreis exemples

C (20, 7 ) = C (20,13) = 77520

C (20,9) = C (20,11) = 167960

C (20,10) = 184756 es lo mai grand

Coma n’ai legit 10, n’ai legit 10 possibilitats dintre lei 184756

1/ 184756 = 5,412544112. 10^-6

à pauc près 5, 4 milionens

Lo còup venent la cronica sara facha

amé lei 20 fulhets qu’ai escrich per la nuèch de la lectura

Saran notats sus de bendas de 9 centimètres (à pauc près)

de larg sus de fuèlhs de format A4

Ansin aurètz la possibilitat

de crear un tèxte

segond la voastra chausida

Un article de Joan-Glaudi Babois *

Presentacion e messa en paginas de Sylvie Di Roma

(un mai que mai gramací)

Correccion de Reinat TOSCANO

*Dempuèi uèi trobarètz una pichona biografia dels redactors de Sapiéncia en la seccion Qui sèm.